Lógica
Lógica
La lógica proposicional en matemática es un sistema formal que representa proposiciones el cual son expresiones de lenguaje, es decir enunciados informativos que admite la posibilidad de ser verdadero o falso pero no ambos sin el uso de palabras o preguntas.
SON PREPOSICIONES NO SON PREPOSICIONES
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- 39 es un numero primo (F) - hola
- Vanessa, Diana, Shery y Nazly están exoneradas en matemáticas (V) - Buenos días profesor
La lógica proposicional se divide en dos:
PROPOSICIÓN SIMPLE: contiene una sola afirmación y se simboliza con las letras p, q, r, s, t, a las que se llamaran variables proposicionales. ademas se forman sin utilizar términos de enlace
Ejemplo:
- Bogota es la capital de Colombia : p (V)
- 15 es un numero primo : q (F)
- Estamos en el año 2019 : r (V)
PROPOSICIÓN COMPUESTA: es aquellas que están formadas por dos o mas preposiciones simples o puede ser la negación de una proposición simple.
En toda proposición compuesta, las proposiciones simples se encuentran ligadas a conectivos lógicos.
CONECTIVOS LÓGICOS
Son palabras que permiten relacionar dos proposiciones o negar una proposición simple, al momento de ser usadas por medio de símbolos se les llama operadores lógicos.
Junto a esto se utilizan las tablas de verdad o de lógica el cual se utilizan para hallar el valor de las proposiciones teniendo en cuanta las afirmaciones que se ven en ellas:
- CONJUNCIÓN: Símbolo gramatical: y Símbolo lógico: ^
Ejemplo: "Jorge viajo a Cali y Luis viajo a Bucaramanga"p: Jorge viajo a Cali
q: Luis viajo a Bucaramanga Simbologia: p ^ q
2. DISYUNCIÓN: Símbolo gramatical: o Símbolo lógico: v
Ejemplo: " Marta fue a la playa o al bosque
p: Marta fue a la playa
q: Marta fue al bosque Simbologia: p v q
3. IMPLICACIÓN O CONDICIONAL: Símbolo gramatical: si...entonces Símbolo lógico: =>
Ejemplo: "Si 12 es un numero par entonces es divisible entre 2"
p: 12 es un numero par (antecedente)
q: 12 es un numero divisible entre 2 (consecuente) Simbologia: p => q
4. BICONDICIONAL: Símbolo gramatical: si y solo si Símbolo lógico: <=>
Ejemplo: "Providencia es una isla si y solo si esta rodeada de agua"
p: Providencia es una isla
q: Providencia esta rodeada de agua Simbologia: p <=> q
5. NEGACIÓN: Símbolo gramatical: No Símbolo lógico: ~ o ¬
la negación es el contrario de cualquier otras tabla de verdad
Ejemplo: p: Todo numero elevado al cuadrado es positivo
Negación: q: No todo numero elevado al cuadrado es positivo
Nota: Cuando se niega una proposición compuesta, se niega al operador de mayor jerarquía en dicha proposición
Ejemplo: No es cierto que Pablo fue al banco y retiro el dinero
q: Pablo fue al banco
r: Retiro el dinero Simbologia: ~(p^r)
EJEMPLO # 1:
1.( p ∧ q) ⇔ (～ p ∨ q)
PASOS:
1. Para empezar nos apoyamos en las tablas superiores para resolver p y q
2. para resolver (p∧q) nos apoyamos en la tabla de conjunción.
3. Después hacemos la negación de p (～p), ya que a continuación nos piden su negación.
4. Después de realizar la negación de p, resolvemos lo que sigue (～ p ∨ q), para resolver esto, vamos a la tala de disyunción, en donde tomamos los valores de la ～p y de q.
5. Para finalizar y resolver (p ∧ q) ⇔ (～p ∨ q), nos apoyamos en la tabla bicondicional, tomamos los valores de la tercera columna (p ∧ q) y los valores de la quinta columna (～p ∨ q) y los resolvemos por bicondicional.
EJEMPLO #2:
1.[( p∨q)⇒(p∧r)]⇔r
NOTA:
Cuando está la letra r los valores van intercalados, osea: r= v,f,v,f,v,f,v,f .
observa el siguiente video de lógica proposicional para un mejor entendimiento del tema:
EJERCICIOS
1. Deducir las tablas de verdad con su valor respectivo:
- (p⇒q) ∧ (q⇒～p)
- (p∧～q) ∨ (～p⇔q)
- (p∧q)⇔(～p∨q)
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